我看下是不是可以把我的笔记完美复现……可以的话持续更新。

...似乎不行... 我自己编辑器用的KaTeX, 然而网页渲染用的mathjax诶...为什么我更改不了js...以后再试试.

Work with markdown & $\LaTeX$. Noted by Keldos.

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函数

有界集、确界原理

有界集

定义

$\forall x\in A$ , 都有$x \leqslant \alpha$ ;

$\forall \epsilon>0$ , $\exists x_0\in A$ , 使得$x_0>\alpha-\epsilon$. 则$\alpha$ 是$A$的上确界，记作$\alpha=\sup A$ 或$\alpha=\displaystyle\sup_{x\in A} \{x\}$.

$\forall x\in A$ , 都有 $x \geqslant \beta$ ;

$\forall \epsilon>0$, $\exists x_0\in A$ , 使得 $x_0<\beta+\epsilon$ . 则 $\beta$ 是$A$的下确界，记作$\beta=\inf A$ 或$\beta=\displaystyle\inf_{x\in A} \{x\}$.

有界函数

定义

若 $\exists$ 常数$N$, $\forall x \in D$ , 都有$N \leqslant f(x)$ （$N \geqslant f(x)$）, 称$f(x)$是$D$上的有上界（下界）函数。

有界函数既要有上界也要有下界。

设$y=f(x)$，$x \in {D}$，$\exists$ 常数 $N \leqslant M$，$\forall x \in D$，都有 $N \leqslant f(x) \leqslant M$，称$y=f(x)$是$D$上的$\bf{有界函数}$.

有界函数也常用下面的定义：

$\exists$常数$M>0$，对$\forall x \in D$, $|f(x)| \leqslant M.$ $(N=-M f(x) M.) $

无界函数

定义

$\forall$ 常数 $M>0$, $\exists x_0 \in D$, 使得 $|f(x_0)|>M$.

复合函数

定义

设$y=f(u),\ u\in D(f),\ u=\phi (x),\ x\in R(\phi)$. 若 $D(f) \cap R(\phi) \not= \varnothing$ , 则称$y=f(\phi(x))$是$x$的$\bf{复合函数}$. $y=f(u)$ 被称为外（层）函数，$ u=(x)$被称为内（层）函数.

只要看$y=f(\phi(x))$定义域是否为空集$\varnothing$.

反函数

设$y=f(x),\ x\in D$. 若$\forall x_1,\ x_2\in D,\ x_1\not= x_2,$ 有$f(x_1)\not=f(x_2)$, 反之, $\forall y\in R(f)$, 都有唯一 $x\in D$ 使得 $y=f(x)$与之对应, 则按此法则得到一个定义在$R(f)$上的函数，称该函数为$f$的反函数，记作 $x=f^{-1}(y),\ y\in R(f) \quad$ 或$\quad f^{-1}:R(f)\to D$.

$y=f(x)$与$x=f^{-1}(y)$的图像相同；
$y=f(x)$与$y=f^{-1}(x)$的图像关于$y=x$对称.

单调函数

递增，递减函数统称$\bf{单调函数}$，严格递增，严格递减函数统称$\bf{严格单调函数}$.

反函数存在性定理

若$y=f(x)$在$D$上严格增（减），则$y=f(x)$有反函数且也严格单调增（减）.

但反之有反函数，原函数不一定是严格单调.

初等函数

基本初等函数

\[ \boxed{ \begin{array}{l|lll} 常值函数 & y=C \ (C是常数),\ & x\in \R;\\ 幂函数 & y=x^\alpha & (\alpha 是幂常数);\\ 指数函数 & y=a^x \ (a>0,\ a\not=1),\ & x\in\R;\\ 对数函数 & y=\log_a x\ (a>0,\ a\not=1),\ & x\in(0,\ +\infty);\\ \hline 三角函数 & 余切 \ \cot x=\frac{1}{\tan x}\\ & 正割 \ \sec x=\frac{1}{\cos x}\\ & 余割 \ \csc x =\frac{1}{\sin x} \\ &\it{\quad注意这里有：} \newline&\quad1+\tan^2 x=\sec^2 x;\\ &\quad 1+\cot^2 x=\csc^2 x \\ \hline 反三角函数 & y=\arcsin x,\ & x\in[-1,\ 1],\ & y\in [-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}]\\ & y=\arccos x,\ & x\in[-1,\ 1],\ & y\in [0,\ \pi] \\ & y=\arctan x,\ & x\in\R,\ & y\in (-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}) \\ \end{array}} \]

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到的函数叫初等函数, 经过有限四则运算称为简单函数.

一般分段函数是非初等函数（但有些分段函数可能是初等函数）;
一般一个解析式就是初等函数.

重要的函数

符号函数

\[ \mathrm{sgn}\,\ x=\left\{ \begin{array}{rl} -1,\ & x<0 \\ 0,\ & x=0 \\ 1,\ & x>0 \end{array} \right. \]

取整函数

性质 \[ [x]\leqslant x \leqslant [x]+1 \\ \Rightarrow \boxed{x-1<[x]\leqslant x}\tag*{⋆ 常用不等式} \]

狄利克雷（Dirichlet）函数

\[ D(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 1,\ & x为有理数 \\ 0,\ & x为无理数 \end{array} \right. \]

性质

$\forall x\not= 0$的有理数都是其周期.

幂指函数

\[\begin{array}{ll} y &= x^x\\ &= e^{\ln x^x}\\ &= e^{x\ln x} \end{array}\]

它也是初等函数。

数列极限

数列极限的概念

给一个数列$\{a_n\}$，随着$n$的无限增大，$a_n$存在一个变化的趋势.

定义

设$\{a_n\}$是一个给定的数列, $ a$是一个确定的常数, 若$>0$ , $\exists N$ , 当$n>N$时, 都有 $|a_n-a|<\epsilon$ , 则$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a \quad$ 或$\quad a_n \to a(n\to \infty)$.

注意:

$\epsilon$的任意性
- 实际可以限制$\epsilon$小于某个正数.
$N$的相应性
- $N$随着$\epsilon$的变化而变化, $\epsilon$越小, $N$越大.
- 另外, 这里$N$是下标的界限, 不要求一定是自然数. (但苏老师决定把这条删掉. )
几何意义 $>0, N, 当n>N时 , 都有 |a_n-a| < \ - < a_n - a < \ a-< a_n < a + \ a_n (a-,a+) U(a,) (a的). $
- 也就是说, 对于$\forall U(a,\epsilon)$, $\{a_n\}$在其之外仅有有限项.

用$\epsilon - N$定义验证极限存在

直接法

例 $\quad$证明 $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n^k}=0$ ($k>0$ 为常数).

$\bf{证}$ $ $ , 要$\left|\dfrac{1}{n^k}-0 \right|<\epsilon,\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{n^k} < \epsilon \Leftrightarrow n^k>\dfrac {1}{\epsilon} \Leftrightarrow n > (\dfrac{1}{\epsilon})^\frac{1}{k}.$ $\underline{取N=(\dfrac{1}{\epsilon})^\frac{1}{k}} \,$( 或 $\left[ (\dfrac{1}{\epsilon})^\frac{1}{k}\right]+1$ 以此保证 $n \geqslant 1$ ), $ $ 所以 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^k}=0$.

适当放大法

当不容易从$|a_n - a|$中等价解出$n>N(\epsilon)$, 或虽能解出但很复杂时, 采用适当放大法. 即: 让$|a_n -a|\leqslant g(n) \ (n>N_1$时成立), 要让$g(n)<\epsilon$成立, 只要$n>N_2$ (等价解出). 取$N=\max\left\{N_1,N_2\right\}$, 当$n>N$时, 有$|a_n -a|\leqslant g(n)<\epsilon$, 即$|a_n -a|<\epsilon$.

当采用适当放大法时, 要求:

$g(n)$尽可能简单, 容易从$g(n)<\epsilon$中解出$n>N_2$;
$\lim\limits_{n\to \infty} g(n)=0$.

例 $\quad$证明 $\lim\limits_{n\to\infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=0$ ($k>0$ 为常数).

$_{n} (-)=0.$

常用的数列极限

$\lim\limits_{n\to \infty} C = C \quad (C为常数)$
$\lim\limits_{n\to \infty} q^n = 0 \quad (|q|<1为常数)$
$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^k} = 0 \quad (k>0为常数)$
$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0 \quad (a为常数)$
$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \quad (a>1为常数)$
$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

收敛数列的性质

如果$\{a_n\}$有极限, 称$\{a_n\}$收敛; 否则称$\{a_n\}$发散. 定理

改变(或去掉或增加)数列的有限项, 不改变数列的收敛性与极限.

性质

1. 唯一性

若$\{a_n\}$有极限, 则极限必唯一.

2. 有界性

若$\{a_n\}$收敛, 则$\{a_n\}$有界. 即$\exists M>0$, 使得$\forall n\in \N_+$, 都有$|a_n|\leqslant M$. 推论 (上面命题的逆否) 若$\{a_n\}$无界, 则$\{a_n\}$发散.

收敛 $\Rightarrow$ 有界;
无界 $\Rightarrow$ 发散.

3. 不等式性质1

若$\lim\limits_{n\to \infty} a_n = a$, $\lim\limits_{n\to \infty} b_n = b$且$a < b$, 则$\exists N$, 当$n>N$, 都有$a_n < b_n$.

推论

若已经找到上面的$N$, 当$n>N$, $m>N$时, 有$a_n < b_m$.

推论 (保号性)

若 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}=a >0 \ (a<0),$ 则对于满足 $0<\eta<a\ (a<\eta<0)$的任何常数 $\eta,$ 存在 $N_{0},$ 当 $n>N_{0}$ 时，都有$a_{n}>\eta>0 \quad \left(a_{n}<\eta<0\right)$.

$\bf{证}\qquad$ 对 $0<\eta<a,$ 设 $b_{n}=\eta\ (n=1,2, \cdots),$ 则 $\lim\limits_{n \to \infty} b_{n}=\eta .$ 由 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}=a\ (0<\eta<a$ )及性质 3 知，存在 $N_{0},$ 当 $n>N_{0}$ 时, 都有 $a_{n}>b_{n}=\eta>0$. 对 $a<0$ 的情况, 同理可证.

4. 不等式性质2

若 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}=a, \lim\limits_{n \to \infty} b_{n}=b,$ 且 $\exists N_{0},$ 当 $n>N_{0}$ 时，都有$a_{n} \geqslant b_{n}$, 则 $a \geqslant b.$

$\bf{证}$ $\qquad$ 用反证法.$\quad$假设 $a<b,$ 由性质 3 知，存在 $N_{1},$ 当 $n>N_{1}$ 时，都有 $a_{n} < b_{n} .$ 取 $N=\max \left\{N_{0}, N_{1}\right\},$ 当 $n>N$ 时 $,$ 有 $a_{n}<b_{n}$ 与 $n>N$ 时 $a_{n} \geqslant b_{n}$ 相矛盾, 所以假设不成立. 因此 $a \geqslant b.$

在性质 4 中，即使存在 $N_{0},$ 当 $n>N_{0}$ 时, 都有 $a_{n}>b_{n}$, 也不能保证 $a>b.\quad$ 例如, $a_{n}=\dfrac{1}{n}, b_{n}=-\dfrac{1}{n},\ a_{n}>b_{n}\ (n=1,2,3, \cdots),$ 但 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}=0, \lim\limits_{n \to \infty} b_{n}=0,$ 两极限相等.

5. 数列极限的四则运算

若 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}=a, \lim\limits_{n \to \infty} b_{n}=b,$ 则数列 $\{a_{n} \pm b_{n}\},\left\{a_{n} b_{n}\right\},\left\{\dfrac{a_{n}}{b_{n}}\right\}(b \neq 0)$ 的极限都存在, 且

$\lim\limits_{n \to \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \pm \lim\limits_{n \to \infty} b_{n}=a \pm b$
$\lim\limits_{n \to \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)=\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} b_{n}=a \cdot b$

特别地，当 $k$ 为常数时，有$\lim\limits_{n \to \infty} k a_{n}=k \lim\limits_{n \to \infty} a_{n}=k a$
$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n}}{b_{n}}=\dfrac{\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}}{\lim\limits_{n \to \infty} b_{n}}=\dfrac{a}{b}(b \neq 0)$

Keldos !

函数与极限

函数